Question

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D， E是BC边上的中点，连结ED、BD 。

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D， E是BC边上的中点，连结ED、BD 。 （1）求证：△ABC ∽△BCD；（2）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；

Answer 1

（1）证明： ∵AB为直径                   ∴∠ADB=∠CDB=90°                  ∴∠ABC=∠CDB=90°                  又 ∵∠C=∠C                 ∴△ABC ∽△BCD （2）DE与半圆O相切 连接OD          ∵OD=OB           ∴∠ODB=∠OBD          ∵E为Rt△BCD的斜边BC的中点           ∴CE=BD=DE            ∴∠EDB=∠EBD            ∵∠OBD+∠EBD=90°             ∴∠ODB+∠EDB=90°              ∴DE与半圆O相切