Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1＝12BC＝a，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：CF⊥平

直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1＝12BC＝a，∠ABC=90°，N、F分别为A1C1、B1C1的中点．（Ⅰ）求证：CF⊥平面NFB；（Ⅱ）求四面体F-BCN的体积．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
B₁B⊥AB，BC⊥AB，又B₁B∩BC=B，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
又N、F分别为A₁ C₁、B₁ C₁的中点
∴AB∥A₁B₁∥NF．
∴NF⊥平面BB₁C₁C．
∵FC?平面BB₁C₁C．∴NF⊥FC．
∵BB₁=B₁F=C₁F=a，∴BF=CF=

2

a，BC=2a，
∴BF²+CF²=BC²．
∴BF⊥FC，又 NF∩FB=F，
∴FC⊥平面NFB．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，NF⊥平面BCC₁B₁，NF＝

1

2

A1B1＝

1

2

a，
VF?BCN＝VN?BCF＝

1

3

S△BCF?NF＝

1

3

?

1

2

?BC?BB1?NF=

1

6

?2a?a?

1

2

a＝

1

6

a3．