Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|，（Ⅰ）当a=2时，写出函数y=f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；（Ⅲ）设a≠0，函数f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m、n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x|x-2|=

x(x?2)，x≥2 x(2?x)，x＜2

由二次函数的性质知，单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）（开区间不扣分）
（Ⅱ）因为a＞2，x∈[1，2]时，所以f（x）=x（a-x）=-x²+ax=?(x?

a

2

)2+

a2

4

当1＜

a

2

≤

3

2

，即2＜a≤3时，f（x）_min=f（2）=2a-4
当

a

2

＞

3

2

，即a＞3时，f（x）_min=f（1）=a-1
∴f(x)min＝

2a?4，2＜a≤3 a?1，a＞3

（Ⅲ）f(x)＝

x(x?a)，x≥a x(a?x)，x＜a

①当a＞0时，图象如上图左所示
由

y＝ a2 4 y＝x(x?a)

得x＝

( 2 +1)a

2

∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

2 +1

2

a
②当a＜0时，图象如上图右所示
由

y＝? a2 4 y＝x(a?x)

得x＝

(1+ 2)

2

a
∴

1+ 2

2

a≤m＜a，

a

2

＜n≤0