Question

正项数列{an}满足f(an)=2/2-an,且｛an}的前n项和sn=1/4[3-2/f(an)

正项数列{an}满足f(an)=2/2-an,且｛an}的前n项和sn=1/4[3-2/f(an)]^2 求｛an｝是等差数列 若b=an/2^n 求 ｛bn}前n项和Tn

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Answer 1

【正项数列{an}满足f(an)=2/(2-an),且｛an}的前n项和sn=1/4[3-2/f(an)]^2 。求证｛an｝是等差数列。 若b=an/2^n ，求 ｛bn}前n项和Tn。】
【<>内为下标】
证明：
sn=1/4[3-2/f(an)]^2
=(1/4){3-2/[2/(2-an)]}^2
=(1/4)(an+1)^2,
有
an=sn-s<n-1>
=(1/4)(an+1)^2-(1/4)(a<n-1>+1)^2
=(1/4)[(an)^2-(a<n-1>)^2+2an-2a<n-1>).
则4an=(an)^2-(a<n-1>)^2 + 2an-2a<n-1>.
得：
(an)^2-(a<n-1>)^2 -2 (an+a<n-1>)=0.
(an+a<n-1>)(an-a<n-1>)=2(an+a<n-1>,
正项数列{an},有(2an+2a<n-1>) >0，
则an-2a<n-1>=2，
即｛an｝是等差数列。

解：a1=s1=(1/4)(a1+1)^2,
4a1=(a1)^2+2a1+1,
(a1-1)^2=0,
得到a1=1,
｛an｝是等差数列，公比为d=an-2a<n-1>=2。
可得an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.
则bn=an/2^n=(2n-1)/2^n，b1=1/2，
有Tn=1/2^1+ 3/2^2+5/2^3+……+(2n-1)/2^n.
则Tn/2= 1/2^2+3/2^3+……+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1).
两式相减有
Tn-(Tn/2)=1/2+[2/2^2+2/2^3+……+2/2^n] -(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+[1/2^1+1/2^2+……+1/2^(n-1)] -(2n-1)/2^(n+1)
【[ ] 内是首项为(1/2)，公比为(1/2)的等比数列前(n-1)项和。】
=1/2+ (1/2)[1-(1/2)^(n-1)] / [1-(1/2)] -(2n-1)/2^(n+1)
=1/2+ [1-(1/2)^(n-1)] -(2n-1)/2^(n+1)}
则Tn=2{1/2+ [1-(1/2)^(n-1)] -(2n-1)/2^(n+1)}
=1+ 2 [1-(1/2)^(n-1)] -(2n-1)/2^n }
=1+ (2- 4/2^n) -(2n-1)/2^n
=3-(2n+3)/2^n.
即Tn=3-(2n+3)/2^n.

追问

好棒！谢谢你