an=n²求数列前n项和
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1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
可以用数学归纳法证明或裂项法证明
因为(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
所以 n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
.
2³-1³=3·1²+3·1+1
相加得(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+n
=3(1²+2²+3²+...+n²)+3n(n+1)/2+n
解得²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
可以用数学归纳法证明或裂项法证明
因为(n+1)³-n³=3n²+3n+1,
所以 n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³-(n-2)³=3(n-2)²+3(n-2)+1
.
2³-1³=3·1²+3·1+1
相加得(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+n
=3(1²+2²+3²+...+n²)+3n(n+1)/2+n
解得²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6.
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