Question

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠B

如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

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Answer 1

解：（1）∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP， 在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° ∴2∠BCP+2∠BCA=180°， ∴∠BCP+∠BCA=90°， ∴直线CP是⊙O的切线． （2）如下图，作BD⊥AC于点D， ∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2 ，sin∠BCP= ， ∴sin∠BCP=sin∠DBC= = = ， 解得：DC=2，∴由勾股定理得：BD=4， ∴点B到AC的距离为4． （3）如下图，连接AN， 在Rt△ACN中，AC= =5， 又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3． ∵BD∥CP，∴ ，∴CP= ． 在Rt△ACP中，AP= = ，AC+CP+AP=5+ + =20， ∴△ACP的周长为20．