Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos2A+3cosA=1（1）求∠A的大小；（2）若△ABC的面积S

在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c．已知cos2A+3cosA=1（1）求∠A的大小；（2）若△ABC的面积S＝53，b=5，求a，c的值．

Answer 1

（1）∵cos2A+3cosA=1，
∴2cos²A-1+3cosA=1，即2cos²A+3cosA-2=0，解之得cosA=

1

2

或-2．
又∵A是三角形的内角，可得cosA∈（-1，1），
∴cosA=-2不符合题意舍去，得cosA=

1

2

，可得∠A=

π

3

；
（2）∵∠A=

π

3

，
∴△ABC的面积S＝

1

2

bcsinA＝

1

2

×5×c×

3

2

＝5

3

，解之得c=4．
根据余弦定理，得a=

b2+c2?2bccsA

=

52+42?2×5×4×cos π 3

=

21

．
综上所述，a=

21

且c=4．