Question

设 (5x- 1 x ) n 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若 M

设 (5x- 1 x ) n 的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若 M N =32 ，则展开式中x 2 的系数为______．

Answer 1

∵二项式 (5x- 1 x ) n 的展开式中， 令x=1得：各项系数之和M=4 n ， 又各项二项式系数之和为N，故N=2 n ， 又 M N =32 ， ∴2 n =32，即n=5． 设二项式（5x- 1 x ） 5 的展开式的通项为T r+1 ， 则T r+1 = C r5 ?（5x） 5-r ?（-1） r ? x - 1 2 r =（-1） r ?5 5-r ? C r5 x 5- 3 2 r ， 令5- 3 2 r =2，解得：r=2， ∴展开式中x 2 的系数为（-1） 2 ?5 5-2 ? C 25 =1250． 故答案为：1250．