Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）+f（x）=0和f（x-2）+f（x）=0，且当x∈[1，2]时f（x）=1-（x-2）

已知定义在R上的函数f（x）满足f（2-x）+f（x）=0和f（x-2）+f（x）=0，且当x∈[1，2]时f（x）=1-（x-2）2．若直线y=kx（k为常数），与函数f（x）的图象在区间（-2，5）上恰有4个公共点，则实数k的取值范围是（　　）A．（215-8，0）B．（23-4，0）C．（-12，0）D．（-14，0）

Answer 1

∵f（2-x）+f（x）=0，
∴y=f（x）的图象关于（1，0）成中心对称对称；①
又f（x-2）+f（x）=0，
∴f（2-x）=f（x-2）=f[-（2-x）]，
∴函数f（x）为偶函数；②
又f（x-2）+f（x）=0，
∴f（x-2）=-f（x），
∴f（x-4）=-f（x-2）=f（x），
∴函数f（x）是以4k（k∈Z且k≠0）为周期的函数；③
由函数f（x）为偶函数得：f（2-x）+f（x）=0?f（2+x）+f（-x）=0?f（2+x）+f（x）=0，
∴f（2+x）=f（2-x），即函数f（x）关于直线x=2对称，④
又当x∈[1，2]时f（x）=1-（x-2）²，
∴由①②③④作图如下：
https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/962bd40735fae6cd42f939d70cb30f2442a70f32?x-bce-process=image/quality,q_85
由图知，当k＞0时，直线y=kx（k为常数）与函数f（x）的图象在区间（-2，5）上恰有3个公共点，不符合题意；
∴k＜0，令y=g（x）=kx，
则g（4）=4k＞-1，
解得：-

1

4

＜k＜0．
故选：D．

Answer 2

这一题选A