Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2-x）=2f（1），当x≥1时，f(x)＝x+4x且x∈[-2，2]时，n≤f（x

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（2-x）=2f（1），当x≥1时，f(x)＝x+4x且x∈[-2，2]时，n≤f（x）≤m恒成立，则m-n的最小值是（　　）A．23B．53C．1D．2

Answer 1

∵当x≥1时，f(x)＝x+

4

x

，
∴f（1）=1+4=5，
∴f（x）+f（2-x）=2f（1）=10，令x=0，
可得f（0）+f（2）=10，可得f（0）=6，
f（-2）+f（4）=10，可得f（-2）=5，
画出f（x）的草图：

f（x）在（0，2）上为减函数，f（x）在[-2，0]上是增函数，
∴f（x）在x∈[-2，2]上最小值为：f（2）=4，
最大值为f（0）=6，
∴m的最小值为6，n的最大值为4，
∴m-n的最小值是6-4=2，
故选D；