定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x);(1)求当-1≤x≤0时,f
定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x);(1)求当-1≤x≤0时,f(x)的解析式.(2)求f(x)在[-1,1]...
定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x);(1)求当-1≤x≤0时,f(x)的解析式.(2)求f(x)在[-1,1]上的单调区间和最大值.
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解(1)令x∈[-1,0],则x+1∈[0,1]…(1分)
由已知,得f(x)=
f(x+1)=
(x+1)[1?(x+1)]=?
x(x+1)(-1≤x≤0).…(4分)
(2)由(1)知,当0≤x≤1时,f(x)=?(x?
)2+
,…(5分)
则f(x)在[0,
]上单调递增,在[
,1]上单调递减;…(6分)
当-1≤x≤0时,f(x)=?
(x+
)2+
,…(7分)
则f(x)在[?1,?
]上单调递增,在[?
,0]上单调递减;…(8分)
故f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为[?1,?
]和[0,
],
单调递减区间为[?
,0]和[
,1];…(9分)
由f(x)在[-1,1]上的单调性知,f(x)在[-1,1]上的最大值为max{f(?
),f(
)};…(11分)
又f(?
)=
,f(
)=
,因此,f(x)在[-1,1]上的最大值为
.…(13分)
由已知,得f(x)=
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(2)由(1)知,当0≤x≤1时,f(x)=?(x?
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则f(x)在[0,
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当-1≤x≤0时,f(x)=?
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则f(x)在[?1,?
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故f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为[?1,?
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单调递减区间为[?
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由f(x)在[-1,1]上的单调性知,f(x)在[-1,1]上的最大值为max{f(?
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又f(?
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