Question

□ABCD中，点E是BC上的一动点（不与点B、C重合），点F是CD上的一动点（不与点B、C重合）．（1）如图1，若

□ABCD中，点E是BC上的一动点（不与点B、C重合），点F是CD上的一动点（不与点B、C重合）．（1）如图1，若AE=AF，求证：CE=CF．（2）如图2，若∠BAE=30°，∠DAF=15°，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明．（3）如图3，若∠EAF=45°，连结BD，交AE于M、交AF于N，请探究BM、MN、DN之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AE＝AF AB＝AD

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF，
∴BC-BE=CD-DF，
即CE=CF；

（2）如图，将△ADF绕点A逆时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，AH=AF，BH=DF，∠BAH=∠DAF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中，

AH＝AF ∠EAH＝∠EAF＝45° AE＝AE

，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∵EH=BE+BH，
∴EF=BE+DF；

（3）如图，将△ADN绕点A逆时针旋转90°得到△ABK，
由旋转的性质得，AN=AK，BK=DN，∠BAK=∠DAN，∠ABK=∠ADN=45°，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAN=∠MAK=45°，
在△AMN和△AMK中，

AN＝AK ∠MAN＝∠MAK＝45° AM＝AM

，
∴△AMN≌△AMK（SAS），
∴MN=MK，
∵∠MBK=∠ABD+∠ABK=45°+45°=90°，
∴BM²+BK²=MK²，
∴BM²+DN²=MN²．