Question

已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8

已知等比数列{an}的公比为q，前n项的和为Sn，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．

Answer 1

（1）由S₃，S₉，S₆成等差数列，得S₃+S₆=2S₉，
若q=1，则S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁，
由a₁≠0得S₃+S₆≠2S₉，与题意不符，所以q≠1．
由S₃+S₆=2S₉，得

a1(1?q3)

1?q

+

a1(1?q6)

1?q

＝

2a1(1?q9)

1?q

．
整理，得q³+q⁶=2q⁹，由q≠0，1，
设t=q³，则2t²-t-1=0，解得t=1（舍去）或t=-

1

2

，
所以q3＝?

1

2

；
（2）由（1）知：a8＝a2×q6＝

1

4

a2，a5＝a2×q3＝?

1

2

a2
则a₈-a₂=a₅-a₈，
所以a₂，a₈，a₅成等差数列．