Question

如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点

如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

（1）连接AF，∵底面ABCD是矩形，AD=2，AB=1，F分别是线段BC的中点，
∴AF=DF=

2

，
∴AF²+DF²=AD²，∴AF⊥DF，
又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，∴PA⊥DF，
又PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF，PF?平面PAF，
∴PF⊥FD；
（2）取AD的中点O，连接OB，
则OB∥FD，过点E作EH∥FD交AD于点H，
则EH∥平面PFD，
∵E为AB的中点，
∴AH=

1

4

AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=

1

4

AP，
又GH∩EH=H，∴平面GEH∥平面PFD，
∵EG?平面GEH，
∴EG∥平面PFD．从而确定G点位置；