Question

已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若y=

已知△ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若y=cos2A+cos2C，求y的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，（2分）
即sin（B+C）=2sinAcosB，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，
∴cosB＝

1

2

，
∴B＝

π

3

；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2A+2C＝

4π

3

，
则y=cos²A+cos²C
=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

＝1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

?2A)]＝1+

1

2

(

1

2

cos2A?

3

2

sin2A)
=1?

1

2

sin(2A?

π

6

)
∵0＜2A＜

4π

3

，
∴?

π

6

＜2A?

π

6

＜

7π

6

，
则?

1

2

＜sin(2A?

π

6

)≤1，（8分）
所以y的取值范围为[

1

2

，

5

4

)．（10分）