Question

怎么证明样本方差是总体方差的无偏估计

Answer 1

证明样本平均数是总体平均数的无偏估计的方法如下：

设xij是第j个随机变量（j = 1，...，K）的第i个独立观察值（i = 1，...，N）。 这些观察结果可以排列成N列向量，每个都有K个子项，K×1列向量给出所有变量的第i个观察值，表示为xi（i = 1，...，N）。

样本平均数向量X是一个列向量，它的第j个元素XJ是第j个变量的N个观察值的平均值。

样本平均数是从一个或多个随机变量上的数据集合（样本）计算的统计量。样本平均值是总体平均值的估计量，其中总体是指采集样本的集合。样本平均数是一个向量，每个元素是随机变量之一的样本均值，即每个元素是其中一个变量的观察值的算术平均值。

如果仅观察到一个变量，则样本平均数是单个数字（该变量的观察值的算术平均值）。由于其易于计算和其他期望的特征，样本平均数广泛用于统计和应用中，以表示分布的位置。

随机变量

对于每个随机变量，样本平均数是人口平均值的一个很好的估计量，其中“良好”估计量被定义为有效和无偏差。 当然，由于从同一分布中抽取的不同样本将给出不同的样本平均数，因此对真实均值的估计不同，估计量可能不是群体平均值的真实值。 

因此，样本平均数是随机变量，而不是常数，因此具有其自身的分布。 对于第j个随机变量的N个观察值的随机抽样，样本均值的分布本身具有等于群体平均值E(xj)和方差是随机变量Xj的方差。

Answer 2

首先说明：简单的样本减去均值平方除N不是无偏的，要除以N-1才是无偏的

证明如下：

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

Answer 5

利用“无偏估计”的定义，求证二者的期望值相等即可。供参考啊。