Question

定义在R上的奇函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且当x属于(-1,0)时,f(x)=2^x+1/5，则f(log2(20))的值是

Answer 1

f(x)是以4为周期的周期函数 x属于(-2,1]，f(x)= 2^(x-2) + 1/5 x属于（-1，0），f(x)=2^x+1/5 x=0, f(x) = 0 x属于（0，1），f(x)=-2^(-x)-1/5 x属于[1,2)，f(x)=-2^(x-2) - 1/5 x=2, f(x) = 0 4< log2 20 < 5 f( log2 20 ) = f(log2 20 -4) = -2^[(log20-4-2)]-1/5 = -20/64-1/5 = -41/80 追问： 谢谢但是答案是-1 回答： log2 20=log2（4×5）=log2 4+log2 5=2+log2 5=2+log2 4×5/4=4+log2 5/4；所以f（log2 20）=f（4+log2 5/4）=f（log2 5/4）；又∵0＜log2 5/4＜1；∴f（log2 20）=-2^(-log2 5/4)-1/5=-5/4-1/5=-29/20。。。。。。。。答案为-1，我觉得可能是吧5/4当成4/5了导致的 追问： 谢谢，我想问为什么是以四为周期？ 回答： 你可以用换元想，令t=1-x，则x=1-t，则(1+x)=f(1-x),即f（t）=（2-t），又∵为奇函数， ∴f（t）=-（t-2），学周期函数的时候，不是讲过f（x）=-f（x+a），则周期T=2a，所以周期为4 追问： ，不是讲过f（x）=-f（x+a），则周期T=2a，所以周期为4 哈哈，这个啊，有点忘记啦，还有这个结论啊，能推出f（x）=f（x+2a），吗 回答： 当然，周期函数指f（x）=f(x+T)，周期就为T