Question

求解线性代数证明题：已经A、B均为n阶矩阵（可逆性未知），且E-AB为可逆矩阵，求证：E-BA为可逆矩阵。

Answer 1

简单计算一下即可，详情如图所示

Answer 2

利用反证法：若E-BA不可逆，则存在X不为0，使(E-BA)X=0 -> X=BAX ，则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX=0
也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX，Y不等于0，否则X=BAX=0)，与题设矛盾，所以E-BA可逆

追问

这个不严密吧，Y=AX，X不等于0，但A可能等于0啊，所以Y有可能等于0。

追答

如果Y等于0，X等于BAX=BY=0

Answer 3

反证法：若E-BA不可逆，则|E-BA|=0，BA存在1的特征根，即存在不为零的向量u，使
BA*u=u
由此 ABA*u=A*u ，并且不为零，否则上式的u为零了。
这说明不为零的向量 A*u是AB相应于特征值为1的特征向量，即E-AB不可逆，矛盾。

Answer 4

我只提供思路，AB与BA相似，可以证明二者的特征值相同可以对角化，然后e-ba与e-ab相似，最后得到二者均可逆。