Question

I=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,积分曲面为上半球面Z=√a^2-x^2-y^2外侧

解题过程我百度到了
由积分曲面方程知：x²+y²+z²=a²
则分母化为a²变成常数提出；
补平面Σ1：z=0,x²+y²≤a²,下侧
则曲面变为封闭曲面,用高斯公式：
(1/a²)∫∫ xz²dydz+(x²y-z³)dzdx+(2xy+y²z)dxdy
=(1/a²)∫∫∫ (z²+x²+y²) dxdydz
就问一个问题 这里为什么要把分母化为a^2,为什么要进行分母代换？？？
急在线等啊

Answer 1

就一个答案
因为分母x^2+y^2+z^2在曲面Σ：x^2+y^2+z^2=a^2上
所以可以直接把含有x^2+y^2+z^2的都换为a^2
这是曲线和曲面积分的特性，就能省去挖孔的步骤
但是，若这里的分母不是x^2+y^2+z^2的话，比如x^2+2y^2+3z^2
做法就不同了，不能直接代入，而是需要挖一个x^2+2y^2+3z^2=t^2,t->0
的小椭球，来避免奇点，这样围成的曲面就能用高斯公式了

再详细一点的，
许多人都把重积分和线面积分都混淆了
实际上重积分是不能直接这样代入的
因为重积分的方程是x^2+y^2+z^2≤a^2
但是面积分的方程是x^2+y^2+z^2=a^2
这个不等号和等号是关键所在了
重积分方程要用等号表示时，一定要说明由是哪些曲面围成的封闭体积
例如由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)围成的体积，这里可用等号表示
或者直接说体积范围是z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)

但是，对于曲面积分，就不能用z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)来表示了
只能说由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)围成的曲面的全外侧等等

也有一个要点
当是全外(内)侧的曲面积分时，若被积函数有相应的积分方程式子
可以先直接代入，但是用了高斯公式变为三重积分后，就不能这么做了，要注意哦