Question

设各项均为正数的数列an的前n项和为sn且sn满足sn方-（n方+n-3）sn-3（n方+n)=0

设各项均为正数的数列an的前n项和为sn且sn满足sn方-（n方+n-3）sn-3（n方+n)=0，n属于正整数，a1=2,an=2n证明对于一切正整数n有1/a1(a1+1)+1/a2(a2+1)+……+1/an(an+1)<1/3

Answer 1

（1）因为sn²-(n²+n-3)sn-3(n²+n)=0
所以(sn+3)[sn-(n²+n)]=0
因为数列an的各项均为正数
所以sn-(n²+n)=0
sn=n²+n
a1=s1=2
（2）an=sn-s(n-1)=2n(n≥2)
当n=1时，a1=2×1=2，所以a1符合通项公式
故数列｛an｝的通项公式为an=2n
（3）1/[a1(a1+2)]
+1/[a2(a2+2)]+…+1/[an(an+2)]
=1/(2×4)
+1/(4×6)+…+1/[an(an+2)]
=1/2×[1/2-1/4+1/4-1/6+…+1/an-1/(an+2)]
=1/2×[1/2-1/(an+2)]
=n/(4n+4)

Answer 2

方程因式分解：
(Sn+3)(Sn-n²-n)=0
因为sn>0, 所以有Sn-n²-n=0
Sn=n²+n=n(n+1)
a1=2
an=Sn-S(n-1)=n(n+1)-n(n-1)=2n
记bn=an(an+1)=2n(2n+1), 显然bn>0
1/bn=1/(2n)-1/(2n+1)
现求Tn=1/b1+1/b2+.......的极限
Tn=1/2-1/3+1/4-1/5+......+1/(2n)-1/(2n+1)
Tn是单调增的，
又因为ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7....…
所以lim Tn=1-ln2<1/3

追问

可以用裂项相消的方法解吗。

追答

刚才裂了好一会，没裂出来.....

追问

饿………

这道题好像是第一项不动，从第二项还是消，怎么消我忘啦！

上课听过，忘啦怎么做啦！

追答

就是上面的公式，直接相减就得了：
a1=2
an=Sn-S(n-1)=n(n+1)-n(n-1)=2n

追问

算不出来，不算啦！