Question

如图，点P为等边三角形ABC内的一点，PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数。

Answer 1

解：因为 三角形ABC为等边三角形，
所以 AB=AC，角BAC=60度.
将三角形PAB绕点A逆时针旋转60度，得到三角形DAC，
所以 三角形PAB全等于三角形DAC．
所以 PA=AD=4，CD=PB=3，角APB=角ADC．角BAP=角CAD，
因为 角BAC=60度，角BAP=角CAD，
所以 角PAD=角BAC=60度，
因为 PA=PD=4，角PAD=60度，
所以 三角形PAD是等边三角形，
所以 PD=PA=4，角PDA=60度，
在三角形PCD中，
因为 PD=4，PC=5，CD=3，
所以 PC平方=PD平方+CD平方
所以 三角形PCD是直角三角形，角PDC=90度．
所以 角ADC=角PDA+角PDC
=60度+90度
=150度，
所以 角APB=角ADC=150度．
思路分析：题中已知的三条线段的长度3，4，5 恰是一组勾股数，可惜不在同一
三角形中，为了要使这三条线段放在同一三角形中，必须考虑图形的变换，
一般图形变换的方式有平移，翻折，旋转三种，
又题中条件有等边三角形，而等边三角形与正方形之类图形的变换方式常是旋
转，所以本题考虑一旋转。

Answer 2

因为 三角形ABC为等边三角形，
所以 AB=AC，角BAC=60度.
将三角形PAB绕点A逆时针旋转60度，得到三角形DAC，
所以 三角形PAB全等于三角形DAC．
所以 PA=AD=4，CD=PB=3，角APB=角ADC．角BAP=角CAD，
因为 角BAC=60度，角BAP=角CAD，
所以 角PAD=角BAC=60度，
因为 PA=PD=4，角PAD=60度，
所以 三角形PAD是等边三角形，
所以 PD=PA=4，角PDA=60度，
在三角形PCD中，
因为 PD=4，PC=5，CD=3，
所以 PC平方=PD平方+CD平方
所以 三角形PCD是直角三角形，角PDC=90度．
所以 角ADC=角PDA+角PDC
=60度+90度
=150度，
所以 角APB=角ADC=150度．

Answer 3

把△ABP以A为圆心逆时针旋转60°，AB与AC重合，P点落在Q处，连接PQ
∵ AP=AQ ∠PAQ=∠AQP=60°
∴ △APQ是等边三角形 PQ=PA=3
∵ CQ=BP=4 PQ²+CQ²=25=PC²
∴ ∠PQC=90°
∵ ∠AQC=∠AQP +∠PQC = 150°
∴ ∠APB = 150°

Answer 4

因为 三角形ABC为等边三角形，
所以 AB=AC，角BAC=60度.
将三角形PAB绕点A逆时针旋转60度，得到三角形DAC，
所以 三角形PAB全等于三角形DAC．
所以 PA=AD=4，CD=PB=3，角APB=角ADC．角BAP=角CAD，
因为 角BAC=60度，角BAP=角CAD，
所以 角PAD=角BAC=60度，
因为 PA=PD=4，角PAD=60度，
所以 三角形PAD是等边三角形，
所以 PD=PA=4，角PDA=60度，
在三角形PCD中，
因为 PD=4，PC=5，CD=3，
所以 PC平方=PD平方+CD平方
所以 三角形PCD是直角三角形，角PDC=90度．
所以 角ADC=角PDA+角PDC
=60度+90度
=150度，
所以 角APB=角ADC=150度．