Question

函数y=x+根号（1+x^2）的值域

要过程哦
额、、、打错一符号，是 “ 函数y=x+根号（1-x^2）的值域 ”

Answer 1

解：∵y=X+√（X²+1)，显然y的定义域为R。
∴y′=1＋x／√（x²＋1）=【√（x²＋1）＋x】／√（x²＋1）
又√（x²＋1）＞√x²
=
|
x
|≥﹣x
∴√（x²＋1）＞﹣x
∴√（x²＋1）＋x＞0，又√（x²＋1）＞0
∴y′＞0，即：y在R上为增函数。
当x趋近于负无穷小时，函数y的极限为0，当x趋近于正无穷大时，函数y的极限为正无穷大。
∴函数y的值域为（0，﹢∞）

Answer 2

根号（X^2+1)因为X^2>0,加上1以后>1,所以开了根号以后也是>1,然后看X的定义域,在上限和下限都加上1,即为值域

Answer 3

首先，x的定义域为[-1,1],
进行三角变换，令x=sinθ,其中θ∈[-π/2,π/2],
则y=sinθ+cosθ=√2*sin(θ+π/4)
易知，值域为[-1,√2].

Answer 4

设x1＞x2则有
y1-y2
=x1-x2+
√(x1*2+1）-
√（x2*2+1）
=(x1-x2)+
（√（x1*2+1）—
√(X2*2+1））
因为x1＞x2所以x1-x2＞0
（√（x1*2+1）—
√(X2*2+1））>0
所以y1-y2>0所以
y在R上增因为
X属于R　　　所以Y也为R
即值域为R

Answer 5

定义域一切实数
（1）x>=0时单调递增，值域>=1
（2）x<0时
1/y=根号（1+x^2）-x >0且1/y单调递减，1/y范围为>1，y的范围就是（0，1）
综上，值域为大于0