Question

这道高等数学怎么做？求极限

• 你的回答被采纳后将获得：
• 系统奖励15（财富值+成长值）+难题奖励20（财富值+成长值）

Answer 1

取自然对数,再用洛必达法则
设y=[（a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)
lny=(1/x)ln(（a^x+b^x+c^x)/3,0/0型，分子分母求导
lny->(a^xlna+b^xlnb+c^xlnc)/(a^x+b^x+c^x)-->(lna+lnb+lnc)/3=ln(abc)^(1/3)
y-->(abc)^(1/3)

y=（sinx）^tanx
lny=tanxlnsinx=lnsinx/cotx-->(cosx/sinx)/(-1/sin²x)=-sinxcosx=0
y-->1

追问

啥意思

Answer 2

　　都和重要极限 e 有关。
　　1）记
　　　f(x) = [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)，
则
　　　lim(x→0)lnf(x)
　　= lim(x→0)[ln(a^x+b^x+c^x)-ln3]/x (0/0型，用洛必达法则)
　　= lim(x→0)[(a^x)lna+(b^x)lnb+(c^x)lnc)/(a^x+b^x+c^x)
　　= (lna+lnb+lnc)/3
　　= ln(abc)^(1/3)，
即
　　　lim(x→0)f(x) = (abc)^(1/3)。

2）记
　　　g(x) = (sinx)^tanx
则
　　　lim(x→π/2)lng(x)
　　= lim(x→π/2)tanxlnsinx
　　= lim(x→π/2)sinx*lim(x→π/2)(lnsinx/cosx) (0/0)
　　= 1*lim(x→π/2)[(cosx/sinx)/(-sinx)]
　　= 0，
所以
　　　lim(x→π/2)g(x) = 1。