Question

三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的重心，外心，内心，还是垂心？

Answer 1

上面的解释都很牵强，或者叫晦涩。

正确的解释是：
由OA·OB=OB·OC，得
OA·OB-OC·OB=0
(OA-OC)·OB=0
CA·OB=0，即OB垂直于AC边

同理由OB·OC=OC·OA，可得OC垂直于AB边
由OA·OB=OC·OA，得OA垂直于BC边

显然点O是三角形的垂心

Answer 2

根据向量的数量积的含义，由向量OA·OB=OB·OC知，向量OA、OC在向量OB方向上的投影相等，因此A点、C点在向量OB方向上的投影为同一点（设为D点），则可知A、D、C在一直线上，故AC垂直OB。同理可得：OC垂直AB，OA垂直BC，故O点为三角形三条边的高的交点，故O为垂心。

Answer 3

三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心