Question

如图,P是等边三角形ABC内一点,PC=3,PA=4,PB=5,求AB的边长

拜托了！！！！！！！！！！

Answer 1

按照楼主图形的方向，将PA沿A点逆时针旋转60°，使P点落到D点，连接PD，CD
由旋转含义知：∠PAD=60°，PA=AD
∴△PAD是等边三角形，有PD=PA=4，且∠APD=60°
等边△ABC中，∠BAC=60°，AC=AB
∴∠BAC=∠PAD
而∠BAP=∠BAC-∠PAC
∠CAD=∠PAD-∠PAC
∴∠BAP=∠CAD
于是，在△BAP和△CAD中：
AB=AC，∠BAP=∠CAD，PA=AD
∴△BAP≌△CAD
∴CD=PB=5
在△PCD中，三边PD=4,CD=5,PC=3
很容易得出：CD^=PD^+PC^
由勾股定理逆定理可得出:
∠CPD=90°
∴∠APC=∠CPD+∠APD=90°+60°=150°
于是，在△APC中，已知两边PA=4,PC=3,以及两边夹角∠APC=150°，可根据余弦定理求出AC的长：
AC^=PA^+PC^-2*PA*PC*cos∠APC
代入各个数值，可求出：
AC=√(25+12√3)
即AB=√(25+12√3)

在这里，我不知道楼主是否已学余弦定理，如果没学的话，可通过作辅助线，在已知PA,PC,∠APC的情况下求出AC的长：
过A作AE⊥PC交PC延长线于点E
于是∠AEP=90°
而∠APE=180°-∠APC=180°-150°=30°
在Rt△APE中，∠AEP=90°
有sin∠APE=AE/AP,cos∠APE=PE/AP
代入∠APE=30°，AP=4，可求出：
AE=2,PE=2√3
∴CE=PE+PC=2√3+3
在Rt△AEC中，运用勾股定理可得：
AC^=AE^+CE^
代入AE=2,CE=2√3+3
可求出：
AC=√(25+12√3)