Question

设函数f(x)=x^2+ax+b 集合A＝{x/x=f(x)} 集合B={x/x=f[f(x)]}

证明：当A只有一个元素时A＝B

Answer 1

当A只有一个元素时，那个元素很显然就是x，由A定义，这个元素也就是f(x),此时B={x/x=f[f(x)]}={x/x=f[f(x)]=f（x）}={x/x=f(x)} =A。
而且当x=f（x）时，有x²+ax+b=x，即x²+(a-1)x+b=0，A只有一个元素，也就是
x²+(a-1)x+b=0有唯一解，△=0推出x=(1-a)/2。不过这个证明题好像用不到这部分。

Answer 2

因为A只有一个元素，且A＝{x/x=f(x)}，所以那个元素即为f(x），当然啦f(x)=x，所以此时B={x/x=f[f(x)]}，也就等于{x/x=f(x)}，所以A=B，我看了一下第一位回答者的留言，把他的话简化一下，就是那个函数f(x)=x^2+ax+b完全是一个干扰项，和本题无关的，如果想算的话，步骤如下：
因为 x=f(x),f(x)=x^2+ax+b
所以x=x^2+ax+b
x^2+ax-x+b=0
x^2+(a-1)x+b=0
因为A只有一个元素
所以根据根的判定定理
Δ=b^2-4ac
得出a^2-2a-1-4b=0
然后就可以算出x1=x2=(1-a)/2
好晕，看你能不能理解，如果不能理解，下面还有一个步骤
设x0为A中元素，则f(x0)=x0,即f(f(x0))=f(x0)=x0
所以x0为B中的元素，证毕
囧~~~