Question

一元4次系数对称怎么解

Answer 1

（1）费拉里法：
方程两边同时除以最高次项的系数可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)
移项可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)^2 ,可将（2）式左边配成完全平方,
方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3)
在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2,
可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4)
（4）式中的y是一个参数.当（4）式中的x为原方程的根时,不论y取什么值,（4）式都应成立.
特别,如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程.为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式,只需使它的判别式变成0,即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5)
这是关于y的一元三次方程,可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值.
把由（5）式求出的y值代入（4）式后,（4）式的两边都成为完全平方,两边开方,可以得到两个关于x的一元二次方程.解这两个一元二次方程,就可以得出原方程的四个根.
费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y,并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方,即得到（4）式,再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方,从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题.
（2）阿贝尔定理（转自百科）：
16 世纪时,意大利数学家塔塔利亚和卡当等人,发现了一元三次方程的求根公式.这个公式公布没两年,卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式.当时数学家们非常乐观,以为马上就可以写出五次方程、六次方程,甚至更高次方程的求根公式了.然而,时光流逝了几百年,谁也找不出这样的求根公式.
大约三百年之后,在1825年,挪威学者阿贝尔（Abel）终于证明了：一般的一个代数方程,如果方程的次数n≥5 ,那么此方程不可能用根式求解.即不存在根式表达的一般五次方程求根公式.这就是著名的阿贝尔定理.