Question

关于多元复合函数微分的一道证明题

若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz) =t^k F(x,y,z)(t>0)，则称F(x,y,z)为k次齐次函数。试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为k次齐次函数的充要条件是：
xF_x (x,y,z)+yF_y (x,y,z)+zF_z (x,y,z)=kF(x,y,z)

Answer 1

证明必要性： F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) 恒成立，将等式两端对 t 进行求导得 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = kt^(k-1)F(x,y,z) ,令 t = 1 即可得结论 xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (x,y,z) = kF(x,y,z) ，到此处必要性证明完毕。
证明充分性：xF_x (x,y,z) + yF_y (x,y,z) + zF_z (x,y,z) = kF(x,y,z) 恒成立，将等式中的 x ，y ，z 分别以 tx ，ty ，tz 代换后等式仍然成立，即 txF_x (tx,ty,tz) + tyF_y (tx,ty,tz) + tzF_z (tx,ty,tz) = kF(tx,ty,tz) 成立 ，将等式左边的 t 提取出来得 t[xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz)] = kF(tx,ty,tz) 。等式左边的中括号中的式子恰好是 F(tx,ty,tz) 对 t 到全导数的形式，即 xF_x (tx,ty,tz) + yF_y (tx,ty,tz) + zF_z (tx,ty,tz) = d F（tx,ty,tz）/dt 。于是可以将等式化为 t*d F（tx,ty,tz）/dt = kF(tx,ty,tz) ，解这个微分方程得 F（tx,ty,tz) = C*t^k （ 注：C为待定常数 ）。令 t = 1 可得 C = F（x,y,z) ，将 C = F（x,y,z) 代回 F（tx,ty,tz) = C*t^k 即可得到结论 F(tx,ty,tz) = t^k F(x,y,z) ，到此充分性证毕 。

有啥不懂得等春节后再问我吧。我回老家过春节，上不了网了啦！所以你再郁闷也得等着偶春节后再说啦！
另外再加点题外话。不得不说楼主很幸运哪，今天晚上是我节前的最后一晚上网了，而且我是一个不在乎问题悬赏分数只在乎问题是否有意思的人呢，否则楼主这样超级考验对概念理解能力的题目怕是没有人会回答的吧。
祝你春节愉快！