Question

设随机变量X在[-π/2，π/2]上服从均匀分布，求随机变量Y=cosX的密度函数

Answer 1

分布函数法，
X的概率密度函数为
fX(x)=
{1/π -π/2＜x＜π/2时
{ 0 其它

设Y的分布函数为FY(y)，
显然，
(1)当y≤0时，
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)=0
∴fY(y)=[FY(y)]'=0

(2)当0＜y＜1时，
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)
=P(-π/2＜X≤-arccosy)
+P(arccosy≤X＜π/2)
=∫[-π/2~-arccosy]1/π·dx
+∫[arccosy~π/2]1/π·dx
=1-2/π·arccosy
∴fY(y)=[FY(y)]'=2/[π√(1-x²)]

(3)当y≥1时，
FY(y)=P(Y≤y)=P(cosX≤y)=1
∴fY(y)=[FY(y)]'=0

综上，
fY(y)=
{2/[π√(1-x²)] 0＜y＜1时
{ 0 其它

追问

老师，这一类的题，我就是sinx小于等于y之后，化成x对于y的取值范围时，不懂那个范围怎么来的

追答

画图，
你会发现很多东西的

追问

老师，在我新的提问里有一道你，你做一下吧，谢谢

Answer 2

把X的范围求出来即可，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

Answer 3

见图

Answer 4