Question

2010年初中毕业生学业考试数学模拟卷（二）一道选择题，有关全等和相似的

课堂中数学老师提了这样一个问题：
如果△ABC和△DEF的三个内角相等，并且有两条边也分别相等，那么这个三角形有没有可能不全等？

甲同学马上说：
不可能，运用角边角的判断方法可以证明这两个三角形一定全等。

而乙同学则通过仔细地思考，提出了与甲不一样的看法：
这两个三角形可能不全等，但它们一定相似，我可以画出满足上述条件的两个三角形。

然后他运用一定的工具画了两个相似的三角形，并且确实有两条边相等，但它们不全等。则乙所画的两个相似三角形的相似比可能等于 （ ）

A。二分之根号二 B。二分之根号五
C。二分之一 D。二分之根号五 或 二分之根号二

请说明理由或解题过程，O(∩_∩)O谢谢。。。

Answer 1

三个内角相等必相似，有两条边相等，但不全等那么这两条边围得并不是同一个角。设相等的两条边为a,b,然后另一条边为c1,c2。则可以根据相似三角形的知识（对应边比值等）有可能为：a/b=b/a=c1/c2(这种情况，显然全等舍掉)，或者a/b=b/c2=c1/a,不妨令a<=b,则得到c1=a^2/b,c2=b^2/a,则要组成三角形有两边之和大于第三边，考虑到a<=b,则第一个三角形最大边为b,第二个三角形最大边为b^2/a,则有a+a^2/b>b,a+b>b^2/a,得到ab+a^2>b^2,由于相似比为a/b，同时除以b^2有，a/b+(a/b)^2>1,则可得a/b>(-1+根号5)/2,注意a<=b（大于一的情况只需取倒数）根号2>-1+根号5>1,所以二分之根号二 是可能的，至于题中的二分之根号五，要先取倒数，看为(2根号5)/5>(-1+根号5)/2,这也是可能的。所以D