Question

一元二次方程根的分布讨论方法。

请给我一元二次方程根的分布讨论方法，多举些例子，最好能数形结合。

Answer 1

设需讨论的式子为ax^2+bx+c=0

若要讨论有2实数根

则就Δ≥0就可以了

如果要讨论有2负数根

则Δ≥0

对称轴-b/2a＜0

f(0)＞0

如果要讨论有2正数根

则Δ≥0

对称轴-b/2a＞0

f(0)＞0

如果题目出一正一负嘛~~

嗯嗯,应该不会这样出的

因为这要分很多种情况讨论

总之,有一元二次方程根的分布时,通常方法是要这个方程化为ax^2+bx+c=0的形式,然后画出y=ax^2+bx+c的图像,看它与x轴的交点应满足怎样的条件,根据条件列出方程,算出结果,具体问题具体分析就是了

Answer 2

　　一元二次方程ax^2+bx+c=0的根从几何意义上来说就是抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交点的横坐标，所以研究方程ax^+bx+c=0的实根的情况，可从y=ax^2+bx+c的图象上进行研究。

　　若在(-∞，+∞)内研究方程ax^2+bx+c=0的实根情况，只需考察函数y=ax^2+bx+c与x轴交点个数及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由y=ax^2+bx+c的系数可判断出△，x1+x2，x1x2的符号，从而判断出实根的情况 。

　　若在区间（m，n）内研究二次方程ax^2+bx+c=0，则需由二次函数图象与区间关系来确定。

　　【详细资料请参阅百度文库《一元二次方程根的分布》】

Answer 3

1.我们把y是x的函数记作y=f(x).例如二次函数y=x的平方+2x+3就可写成f(x)=
x22x+3，而f(x0)就是当x=x0时的函数值.比如f(0)=
0220+3=3.
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象是以直线x=-b/2a为对称轴，以(-b/2a,(4ac-b的平方)/4a)为顶点的抛物线.
3.性质:a>0时，开口向上，x=-b/2a时，f(x)有最小值
;
a<0时，开口向下，x=-b/2a时，f(x)有最大值
.
a:表明抛物线的开口;b:连同a确定抛物线的对称轴;c:与y轴交点的纵坐标.
4.作图:(1)列表描点连线，(2)图形变换;
5.求函数表达式的常用方法是待定系数法.
知识要点:
1.某抛物线与X轴相交与(X1,0)(X2,0),则可设其解析式为y=a(x-X1)(x-X2)
2.某抛物线的顶点坐标为(k,h),则可设其解析式为y=a(x-k)方+h
知识要点:
1.求根的方法:(1)十字相乘法(2)求根公式(3)当Δ<0时，方程无实数根;
2.根与系数的关系(韦达定理)
3.
|x1-x2|=
，
x1的方+x2的方=
;
4.一元二次不等式与一元二次函数和一元二次方程有着密切的关系.
知识要点:
y=a(x+b/2a)方+(4ac-b方)/4a在m≤x≤n上的最值问题要注意以下几个方面:
(1)
-b/2a是否属于这个范围;(2)当m≤x≤n时，y是随x的增大而增大?还是随x的增大而减小?这可借助图象进行分析;
(3)f(m)与f(n)的大小关系;
(4)含有参数(字母)问题的讨论.
1.若m，n为定值，
-b/2a
在变化，即x取值范围是m≤x≤n，则需讨论m≤-b/2a
≤n，或
-b/2a<m，
或
-b/2a>n求最值.
2.若m，n为变量，
-b/2a
为定值，也需进行上述讨论求最值.
知识要点:
1.一元二次方程与二次函数有着密切的关系.对于一元二次方程实根的分布问题，可借助于二次函数的图象，利用数形结合的思想对问题作等价转换，从顶点，判别式Δ，对称轴，自变量取一些关键值时函数值的符号，从而列出相应的方程或不等式，使问题得到解决.
2.实系数一元二次方程根的各种情况:
(1)有两零根等价于b=c=0;
(2)至少有一零根等价于c=0;
(3)只有一零根等价于b不等于0，且c=0;
(4)有一正根和一负根等价于c/a
<0;
(5)有一正根和一零根等价于c=0且–b/a>0;
(6)有一负根和一零根等价于c=0且–b/a
<0;
(7)有两正根等价于{△大于等于0，且-b/a>0,且c/a>0};
(8)有两负根等价于{△大于等于0，且-b/a<0,且c/a>0};
(9)至少有一正根(包括:两正根，一正根一负根，一正根一零根);
(10)至少有一负根(包括:两负根，一正根一负根，一负根一零根).
3.设二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根是x1，x2，且x1<x2，令f(x)=ax2+bx+c
(1)若m<x1<n<x2<t，则f(m)>0，f(n)<0，f(t)>0
;
(2)若x1<m<x2，则f(m)<0;
(3)若x1>m，x2>m，则△大于等于0，f
(m)>0，–b/2a>m
;
(4)若n<x1，x2<m，则△大于等于0，f(n)>0，f(m)>0，n<–b/2a<m;

Answer 4

1.我们把y是x的函数记作y=f(x).例如二次函数y=x的平方+2x+3就可写成f(x)=
x22x+3，而f(x0)就是当x=x0时的函数值.比如f(0)=
0220+3=3.
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象是以直线x=-b/2a为对称轴，以(-b/2a,(4ac-b的平方)/4a)为顶点的抛物线.
3.性质:a>0时，开口向上，x=-b/2a时，f(x)有最小值
;
a<0时，开口向下，x=-b/2a时，f(x)有最大值
.
a:表明抛物线的开口;b:连同a确定抛物线的对称轴;c:与y轴交点的纵坐标.
4.作图:(1)列表描点连线，(2)图形变换;
5.求函数表达式的常用方法是待定系数法.
知识要点:
1.某抛物线与X轴相交与(X1,0)(X2,0),则可设其解析式为y=a(x-X1)(x-X2)
2.某抛物线的顶点坐标为(k,h),则可设其解析式为y=a(x-k)方+h
知识要点:
1.求根的方法:(1)十字相乘法(2)求根公式(3)当Δ<0时，方程无实数根;
2.根与系数的关系(韦达定理)
3.
|x1-x2|=
，
x1的方+x2的方=
;
4.一元二次不等式与一元二次函数和一元二次方程有着密切的关系.
知识要点:
y=a(x+b/2a)方+(4ac-b方)/4a在m≤x≤n上的最值问题要注意以下几个方面:
(1)
-b/2a是否属于这个范围;(2)当m≤x≤n时，y是随x的增大而增大?还是随x的增大而减小?这可借助图象进行分析;
(3)f(m)与f(n)的大小关系;
(4)含有参数(字母)问题的讨论.
1.若m，n为定值，
-b/2a
在变化，即x取值范围是m≤x≤n，则需讨论m≤-b/2a
≤n，或
-b/2a<m，
或
-b/2a>n求最值.
2.若m，n为变量，
-b/2a
为定值，也需进行上述讨论求最值.
知识要点:
1.一元二次方程与二次函数有着密切的关系.对于一元二次方程实根的分布问题，可借助于二次函数的图象，利用数形结合的思想对问题作等价转换，从顶点，判别式Δ，对称轴，自变量取一些关键值时函数值的符号，从而列出相应的方程或不等式，使问题得到解决.
2.实系数一元二次方程根的各种情况:
(1)有两零根等价于b=c=0;
(2)至少有一零根等价于c=0;
(3)只有一零根等价于b不等于0，且c=0;
(4)有一正根和一负根等价于c/a
<0;
(5)有一正根和一零根等价于c=0且–b/a>0;
(6)有一负根和一零根等价于c=0且–b/a
<0;
(7)有两正根等价于{△大于等于0，且-b/a>0,且c/a>0};
(8)有两负根等价于{△大于等于0，且-b/a<0,且c/a>0};
(9)至少有一正根(包括:两正根，一正根一负根，一正根一零根);
(10)至少有一负根(包括:两负根，一正根一负根，一负根一零根).
3.设二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根是x1，x2，且x1<x2，令f(x)=ax2+bx+c
(1)若m<x1<n<x2<t，则f(m)>0，f(n)<0，f(t)>0
;
(2)若x1<m<x2，则f(m)<0;
(3)若x1>m，x2>m，则△大于等于0，f
(m)>0，–b/2a>m
;
(4)若n<x1，x2<m，则△大于等于0，f(n)>0，f(m)>0，n<–b/2a<m;