Question

请教一个问题，如果n阶方阵A不可逆，那么它的伴随矩阵的特征值是否都为0？

Answer 1

如果A的秩为n-1，那么A的伴随有n-1个为0的特征值和1个非0特征值。

如果A的秩小于等于n-2，那么A伴随的特征值全为0。

扩展资料

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组：

的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是

（其中是不全为零的任意实数）．

[注]：若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

Answer 2

如果A的秩为n-1，那么A的伴随有n-1个为0的特征值和1个非0特征值。

如果A的秩小于等于n-2，那么A伴随的特征值全为0。

另一种观点是直接看伴随阵的秩

由于Aadj（A）=det（A）I，当A奇异时Aadj（A）=0，分两种情况讨论

1、rank（A）<n-1，此时adj（A）=0

2、rank（A）=n-1，此时rank（adj（A））=1，至少有n-1个特征值是0，余下的那个特征值是trace（adj（A）），也就是A的所有n-1阶主子式的和，这一结果和上面分析特征值的结果是一致的。

方法：

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：计算的特征多项式；

第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。

Answer 3

如果A的秩为n-1，那么A的伴随有n-1个为0的特征值和1个非0特征值。如果A的秩小于等于n-2，那么A伴随的特征值全为0

追问

那个伴随矩阵特征值的公式不是A的行列式比上A的特征值吗？如果A不可逆它的行列式不就是0吗？然后再除特征值不就都为0了吗

追答

但是不可逆矩阵有为0的特征值，这时再用公式会使得分母为0，从而不能使用这个公式分析

追问

奥，明白了，多谢大神