Question

设a是m×n矩阵,ax=b有无穷多解，下列结论正确的是:

A.ax=0有非零解
B.m<n
C.m>n
D.m=n并且|a|=0

Answer 1

ax=0有非零解。

因为a是m×n矩阵，则R（A）<=min（m,n），又因为ax=b有无穷多解，所以有R（A）＝R（A|B），因为R（AB）<=min（R（A）,R（B）），则R（A）＝R（B），且因为AX=0，则AX也有无穷多组解，因此AX必有非零解。

性质：

当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

Answer 2

AX=b有无穷多组解，则r(A)=r(A|b)
且AX=0，也有无穷多组解，因此必有非零解
选A

Answer 3

Ax=b有无穷多个解?R（A）=R（B）＜n?R（A）＜n?Ax=0有非零解．对（A）：如x1+x2＝0x1+2x2＝0x1+x2＝0仅有零解，但x1+x2＝0x1+2x2＝0x1+x2＝1无解．对（B）：如x1+x2＝02x1+2x2＝0有非零解，但x1+x2＝02x1+2x2＝2无解．对（C）：Ax=b有无穷多个解.