Question

如何计算此爪型行列式？

如图。

Answer 1

求行列式Dn, 其中a1a2a3...an不等于0
1+a1  1   ... 1
1  1+a2 ... 1
...  ...
1   1 ... 1+an

第1行乘 -1 加到其余各行 得
1+a1  1  ... 1
-a1  a2 ... 0
...    ...
-a1  0 ... an
这就是爪形行列式

计算方法是利用2到n列主对角线上的非零元将其同行的第1列的元素化成0

第k列提出ak,k=1,2,...,n (注意ai不等于0) 得 a1a2a3...an*
1+1/a1  1/a2  ... 1/an
-1     1    ... 0
...    ...
-1     0    ... 1

第2到n列加到第1列, 得一上三角行列式
1+1/a1  1/a2  ... 1/an
0      1    ... 0
...    ...
0      0    ... 1

行列式 = a1a2a3...an( 1+ 1/a1+2/a2+...+1/an) = ∏ai(1+∑1/ai)

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3