Question

线性代数 矩阵的相似对角化

Answer 1

(1) |λE-A| =
|λ -1 0|
|4 λ-4 0|
|2 -1 λ-2|
|λE-A| = (λ-2)[λ(λ-4)+4] = (λ-2)^3, 特征值 λ = 2， 2， 2.
λE-A = 2E-A =
[2 -1 0]
[4 -2 0]
[2 -1 0]
初等行变换为
[2 -1 0]
[0 0 0]
[0 0 0]
r(λE-A) = 1, 只有 2 个线性无关的特征向量，
故该矩阵不能相似对角化。
(2) |λE-A| =
|λ -1 0|
|0 λ -1|
|6 11 λ+6|
|λE-A| = λ^2(λ+6) + 6 + 11λ
= λ^3 + 6λ^2 + 11λ + 6 = (λ+1)(λ+2)(λ+3), 特征值 λ = -1，-2, -3.
对于λ = -1， λE-A = -E-A =
[-1 -1 0]
[0 -1 -1]
[ 6 11 5]
初等行变换为
[ 1 1 0]
[0 -1 -1]
[ 0 5 5]
初等行变换为
[ 1 0 -1]
[0 1 1]
[ 0 0 0]
得特征向量 (1, -1, 1)^T;
对于λ = -2， λE-A = -2E-A =
[-2 -1 0]
[0 -2 -1]
[ 6 11 4]
初等行变换为
[ 2 1 0]
[0 -2 -1]
[ 0 8 4]
初等行变换为
[ 2 0 -1/2]
[0 1 1/2]
[ 0 0 0]
得特征向量 (1, -2, 4)^T;
对于λ = -3， λE-A = -3E-A =
[-3 -1 0]
[0 -3 -1]
[ 6 11 3]
初等行变换为
[3 1 0]
[0 -3 -1]
[0 9 3]
初等行变换为
[ 3 0 -1/3]
[0 1 1/3]
[ 0 0 0]
得特征向量 (1, -3, 9)^T.
故矩阵可相似对角化为 diag(-1, -2, -3).