Question

关于同济高数斯托克斯公式证明过程的一个问题

我先列出条件
空间曲面Σ与平行于Z轴的直线相交不多于1点，Σ是曲面z=z（x，y）的上侧。
Σ的正向边界曲线Γ在XOY面的投影为平面有向曲线C。
C所围成的闭区域为Dxy。

然后开始证明斯托克斯公式，得到

∬_Σ▒〖∂P/∂z dzdx-∂P/∂y dxdy〗=∮_C▒P[x，y，z(x，y) ]dx

以上，我都是明白的。

下面，书中说：

因为函数P[x，y，z（x，y）]在曲线C上（x，y）点处的函数值与函数P（x，y，z）在曲线Γ上对应点（x，y，z）处的函数值相等，并且两条曲线上的对应小弧段在X轴上的投影也相同。
所以，下式成立

∮_C▒P[x，y，z(x，y) ]dx=∮_Γ▒P(x，y，z)dx

这步我就糊涂了。
这是什么意思？
怎么把z（x，y）换成z，就把对平面闭曲线的积分变成了对空间闭曲线的积分了呢？

Answer 1

可能题主对第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)的定义理解不够透彻。函数P(x，y，z)为三元函数，对空间曲线Γ的坐标x进行积分，而函数P(x，y，z(x，y))为二元函数，对平面曲线C的坐标x进行积分。因为三元函数P(x，y，z)与二元函数函数P(x，y，z(x，y))为在坐标x，y相同是函数值相同(因为z=z(x，y))，又因为平面曲线C是空间曲线Γ在xoy面上的投影，意味着变量x取值的积分变换范围和变化方向是一样的，因此对坐标x的积分和是一样的，也就是对坐标x的曲线积分相等。

Answer 2

∮_C▒P[x，y，z(x，y) ]dx是对弧长的曲线积分，积分区域是C，没错吧？
C是Γ的投影，Γ上的一点当z确定后，x和y和C上的x和y值是一样的。
∮_C▒P[x，y，z(x，y) ]dx只有x和y，没有z，所以积分区域换成Γ，结果是一样的。

Answer 3

由题目给的曲线方向，用右手准则，四指往回握的方向与曲线方向一致时，大拇指所指向的方向就是所围平面的方向向量。你用斯托克斯公式是把线积分化成面积分，而曲线围成的面的方向与Z轴正向相反

追问

“，用右手准则，四指往回握的方向与曲线方向一致时，大拇指所指向的方向就是所围平面的方向向量”
这句话我知道。
“用斯托克斯公式是把线积分化成面积分”
这个我看公式就知道，特定情况下的线积分与面积分的转换。
“而曲线围成的面的方向与Z轴正向相反”
这句话好像和斯托克斯公式里的说话不符。
最后，回答我的问题：
∮_C▒P[x，y，z(x，y) ]dx=∮_Γ▒P(x，y，z)dx
这个等式，是怎么得来的？