Question

一道高数微分方程求解

题目如图，麻烦写出步骤，谢谢

Answer 1

解：∵原方程的齐次方程是 cos²xdy/dx+y=0
==> dy/y=-dx/cos²x
==> ln∣y∣=ln∣C∣-tanx (C是非零积分常数)
==> y=Ce^(-tanx)
∴ 此齐次方程的通解是 y=Ce^(-tanx)
于是，由常数变易法，设原方程的解为 y=C(x)e^(-tanx) (C(x)是关于x的函数)
代入原方程，化简得 cos²x*C'(x)e^(-tanx)=tanx
==> C'(x)=tanx*e^(tanx)*sec²x
==> C(x)=∫tanx*e^(tanx)*sec²xdx=∫tanx*e^(tanx)d(tanx)
=tanx*e^(tanx)-∫e^(tanx)d(tanx) (应用分部积分法)
=tanx*e^(tanx)-e^(tanx)+C (C是积分常数)
==> y=[tanx*e^(tanx)-e^(tanx)+C]e^(-tanx)=tanx-1+Ce^(-tanx)
故 原方程的通解是 y=tanx-1+Ce^(-tanx) (C是积分常数)。

Answer 2