求证a²+b²-ab≥a-b-1
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(a²＋b²-ab) - (a-b-1)
＝½(2a²＋2b²-2ab-2a＋2b＋2)
＝½[(a-b)²＋(a-1)²＋(b＋1)²]
≥ 0，
所以 a²＋b²-ab ≥ a-b-1。
＝½(2a²＋2b²-2ab-2a＋2b＋2)
＝½[(a-b)²＋(a-1)²＋(b＋1)²]
≥ 0，
所以 a²＋b²-ab ≥ a-b-1。
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厦门君韦信息技术
2024-11-18 广告
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求f(a)=a^2+b^2-ab-a+b+1的最小值
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证明方法不要太多哦，最简便的一种：
a²+b²-ab-(a-b-1)
=[(a-b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2]/2
a-b、a-1、b+1 不可能同时为0，
所以[(a-b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2]/2>0
所以a²+b²-ab>a-b-1
解法2，
设 a²+b²-ab-(a-b-1)=m
a²-(b+1)a+b²+b+1-m=0
△=(b+1)²-4(b²+b+1-m)
=-3b²-2b-3+4m>=0
4m>=3b²+2b+3=3(b+1/3)²+8/3>=8/3
m>=2/3
所以a²+b²-ab>a-b-1
解法3(均值不等式法)
a²+b²-ab-(a-b-1)
=[(a-b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2]/2
>=[(a-b)-(a-1)+(b+1)]^2/(3^2/3)/2
=2^2/6=2/3
当且仅当 a=1/3，b=-1/3 等式成立，
所以a²+b²-ab>a-b-1
经检查绝对无误，而且三种方法，后两种方法结果一致，
a²+b²-ab-(a-b-1)
=[(a-b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2]/2
a-b、a-1、b+1 不可能同时为0，
所以[(a-b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2]/2>0
所以a²+b²-ab>a-b-1
解法2，
设 a²+b²-ab-(a-b-1)=m
a²-(b+1)a+b²+b+1-m=0
△=(b+1)²-4(b²+b+1-m)
=-3b²-2b-3+4m>=0
4m>=3b²+2b+3=3(b+1/3)²+8/3>=8/3
m>=2/3
所以a²+b²-ab>a-b-1
解法3(均值不等式法)
a²+b²-ab-(a-b-1)
=[(a-b)^2+(a-1)^2+(b+1)^2]/2
>=[(a-b)-(a-1)+(b+1)]^2/(3^2/3)/2
=2^2/6=2/3
当且仅当 a=1/3，b=-1/3 等式成立，
所以a²+b²-ab>a-b-1
经检查绝对无误，而且三种方法，后两种方法结果一致，
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a^2+b^2-2ab-（a-b）+1+ab
=（a-b）^2-2（a-b）+1+a-b+ab
=（a-b-1）^2+a-b+ab
当a-b=1时函数a^2+b^2-ab-（a-b）+1有最小值 1+ab
a=1+b
1+ab=1+（1+b）·b=b^2+b+1
=（b+1/2）^2+1-1/4
=（b+1/2）^2+3/4＞0
因为函数最小值＞0，所以a^2+b^2-ab大于等于a-b-1
=（a-b）^2-2（a-b）+1+a-b+ab
=（a-b-1）^2+a-b+ab
当a-b=1时函数a^2+b^2-ab-（a-b）+1有最小值 1+ab
a=1+b
1+ab=1+（1+b）·b=b^2+b+1
=（b+1/2）^2+1-1/4
=（b+1/2）^2+3/4＞0
因为函数最小值＞0，所以a^2+b^2-ab大于等于a-b-1
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