Question

在三角形abc中s为面积，证a²+b²+c²＞4√3s

Answer 1

因为a^2=b^2+c^2-2bccosA
S=(1/2)bcsinA
则a^2+b^2+c^2-4√3S
=b^2+c^2-2bccosA+b^2+c^2-4√3*(1/2)bcsinA
=2b^2+2c^2-2bccosA-2√3bcsinA
=2b^2+2c^2-4bc[(1/2)cosA+(√3/2)sinA]
=2b^2+2c^2-4bc+4bc-4bccos(60-A)
=2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)]
-120
<
60-A
<
60
-1/2
<
cos(60-A)
≤
1
0
≤
1-cos(60-A)
<
3/2
所以
a^2+b^2+c^2-4√3S
=
2(b-c)^2+4bc[1-cos(60-A)]
≥0
当b=c且A=60时，即等边三角形时，等号成立。