Question

高等数学极限问题

Answer 1

解：分享两种解法。 ①用古典概率的定义求解。x2+y2≤9a2的圆域面积SD1=9πa2，椭圆方程x2+9y2≤9a2可变形为x2/9a2+y2/a2≤1，即长轴为3a、短轴为a的椭圆域，其面积SD2=π(3a)a=3πa2。∴p=SD2/SD1=1/3。 ②用定积分求解。由x2+9y2≤9a2，可得x∈[-3a,3a]、-√(a2-x2/9)≤y≤√(a2-x2/9)。利用对称性, ∴p=P(x2+9y2≤9a2)=∫(-3a,3a)dx∫(-√(a2-x2/9),√(a2-x2/9)f(x,y)dy=4∫(0,3a)√(a2-x2/9)dx/(9πa2)。设x=3asint，∫(0,3a)√(a2-x2/9)dx=3a2∫(0,π/2)cos2tdt=(3a2/2)∫(0,π/2)(1+cos2t)dt=3a2π/4, ∴p=4(3a2π/4)/(9πa2)=1/3。供参考。