Question

一道积分计算题！

一道积分计算题！如图所示，请问红线部分倒数第二步是怎么变成最后一步的呢？最好能有详细步骤和解释！谢谢了！

Answer 1

你们老师难道都没有说过利用定积分的定义求极限吗？请你记住我接下来说的每一个字，以后遇到同样的问题就套这个方法。
在[0,1]上求f(x)的定积分，定义是说先插入任意个分点，把区间分成任意多的小段Δxi。再在每个小段上任取一点xi，求函数值f(xi)。相乘，求和，再令Δxi→0取和式极限。如果这个极限值与区间的分法以及点的取法无关，那么就把这个极限值称为定积分。
从一般到特殊，既然区间可以任意分，那我就把[0,1]n等分，这样一来每一小段长为1/n。既然点可以任意取，那我就取每个小区间的右端点。注意区间n等分之后，第i个小区间就是[(i-1)/n,i/n]，所以右端点是i/n。
相乘，区间长度乘以函数值是1/n*f(i/n)，再把这些全部加起来，注意到每项都有1/n，所以提公因式，1/n*[f(i/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]。最后令区间长度趋向零取极限，区间长度是1/n，所以1/n→就等价于n→∞，所以就变成lim(n→∞)1/n*[f(1/n)+f(2/n)+...+f(n/n)]。
刚刚说了这个值就是f(x)在[0,1]上的定积分，所以凡是叫你求形如1/n*Σf(i/n)的极限的，请你全部套定积分的定义做。

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已做笔记，非常感谢！

Answer 2

这是变限的不定积分极限的应用，用到两类知识，即：

1. 变限不定积分求导数法则。

2. 极限洛必达公式。

具体步骤如下：

lim（x→0）[∫(0,x)sint^2dt]^2/∫(0,x)t^2sint^3dt

=lim（x→0）2[∫(0,x)sint^2dt]*sinx^2/x^2sinx^3

=lim（x→0）2[∫(0,x)sint^2dt]/sinx^3

=lim（x→0）2[∫(0,x)sint^2dt]/x^3(无穷小等价代换）

=lim（x→0）2sinx^2/3x^2（再次洛必达法则）

= 2/3.

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答非所问

Answer 3

lim(n->∞) n .[ 1/(1+n^2) +1/(2^2+n^2_+ ...+ 1/(n^2+n^2) ]
=lim(n->∞) n .∑(i:1->n) [ 1/(i^2+n^2) ]
=lim(n->∞) n .∑(i:1->n) { (1/n^2)/[ (i/n)^2+1 ] }
=lim(n->∞) (1/n) .∑(i:1->n) { 1/[ (i/n)^2+1 ] }
=∫(0->1) dx/(1+x^2)
=[arctanx]|(0->1)
=π/4

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非常感谢！

Answer 4

arctan1-arctan0=π/4-0=π/4

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非常感谢！