Question

设f(x)可导，F（x）=f(x)(1+|sinx|),若F（X）在点x=0处可导，则必有（？）

Answer 1

设f(x)可导，F（x）=f(x)(1+|sinx|),若F（X）在点x=0处可导，则必有f(0)=0。

∵f（0）=0，
∴

lim    

x→0    

F(x)-F(0)    

x    

=

lim    

x→0    

f(x)(1+|sinx|)    

x    

=

lim    

x→0    

f(x)    

x    

=f′（0），
故F（x）在x=0处可导；
若F（x）在x=0处可导，
当x在0的左侧附近时，
F（x）=f（x）（1-sinx），
F′（x）=f′（x）（1-sinx）-f（x）cosx，
当x在0的右侧附近时，
F（x）=f（x）（1+sinx），
F′（x）=f′（x）（1+sinx）+f（x）cosx，
故

lim    

x→0-    

F(x)-F(0)    

x    

=f′（0）-f（0），

lim    

x→0+    

F(x)-F(0)    

x    

=f′（0）+f（0），
∴f′（0）-f（0）=f′（0）+f（0），
∴f（0）=0；

扩展资料：

函数可导介绍：

在微积分学中，一个实变量函数是可导函数，若其在定义域中每一点导数存在。直观上说，函数图像在其定义域每一点处是相对平滑的，不包含任何尖点、断点。

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

微积分是在17世纪末由英国物理学家、数学家牛顿和德国数学家莱布尼茨建立起来的。微积分是由微分学和积分学两部分组成，微分学是基础。微分学的基本概念是导数和微分，核心概念是导数。导数反应了函数相对于自变量的变化率问题。

参考资料来源：百度百科-可导

Answer 2

必有f（0）=0，详情如图所示

Answer 3

在0附近
x<0
时F（x)=f(x)(1-sinx)
x>o时F(x)=f(x)(1+sinx)
x<0时
F'(x)=f'(x)-f'(x)sinx-f(x)sin'x
【1]
x>0时F'(x)=f'(x)+f'(x)sinx+f(x)sin'x
[2]
因为F(x)在
x=0处可导
所以
x趋向于0-时于趋向于0+时
F'(0)-
=
F'(0)+
所以X=0时
【1】式=【2】式
所以f'(0)-f'(0)sin0-f(0)sin'0
=f'(0)+f'(0)sin0+f(0)sin'0
整理
知f(0)=0
选A

Answer 4

在0附近
x<0
时f（x)=f(x)(1-sinx)
x>o时f(x)=f(x)(1+sinx)
x<0时
f'(x)=f'(x)-f'(x)sinx-f(x)sin'x
【1]
x>0时f'(x)=f'(x)+f'(x)sinx+f(x)sin'x
[2]
因为f(x)在
x=0处可导
所以
x趋向于0-时于趋向于0+时
f'(0)-
=
f'(0)+
所以x=0时
【1】式=【2】式
所以f'(0)-f'(0)sin0-f(0)sin'0
=f'(0)+f'(0)sin0+f(0)sin'0
整理
知f(0)=0
选a