Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点是F1,F2,若在椭圆上存在一点P使得PF1=2PF

Answer 1

设PF1=a+eX
PF2=a-eX
不妨设F1为左焦点，F2为右焦点
a+eX=2(a-eX)
得X=a/3e
因为
a》X》0
所以
a/3e小于等于a
解得e大于等于1/3
因此椭圆的离心率的取值范围是[1/3,1)

Answer 2

解：设P点的横坐标为x
∵|PF1|=2|PF2|所以P在双曲线右支（x≥a）
由焦半径公式有.2ex-2a=ex+a
得到ex=3a
x=3a/e
因为x≥a，即3a/e≥a
又e>1
∴e的范围为（1，3]

Answer 3

解：用极限思考，PF1（最大）=a+c,PF2（最小）=a-c，且这两个可以同时满足，则
a+c≥2（a-c）推出c≥a/3,显然离心率e=c/a≥1/3
又由于椭圆离心率小于1，综合即B[1/3,1)