Question

已知函数f(x)=-x²+2ex+t-1 , g(x)=x+e²/x (x＞0，e表示自然对数的底数）

Answer 1

已知函数f(x)=-x²+2ex+t-1
,
g(x)=x+e²/x
(x＞0，e表示自然对数的底数）
(1)若g(x)=m有零点，求M的取值范围(2)确定t的取值范围，使得g(x)-f(x)=0
有两个不相同的实根。
(1)解析：∵g(x)=x+e²/x=m
(x>0)有零点
令g’(x)=1-e²/x^2=0==>x=e
函数g(x)在x=e处取极小值g(e)=2e
∴m>=2e
(2)解析：∵函数f(x)=-x²+2ex+t-1，g(x)-f(x)=0
有两个不相同的实根
g(x)-f(x)=
x+e²/x+x²-2ex-t+1=x²+(1-2e)x+e²/x
-t+1=0
设h(x)=
x^2+(1-2e)x+e^2/x
-t+1
令h’(x)=2x+(1-2e)-e^2/x^2=0==>x=e
h”(x)=2+2e^2/x^3==>h”(e)>0
∴h(x)在x=e处取极小值h(e)=2e-e^2-t+1
令h(e)=2e-e^2-t+1<0
t>2e+1-e^2
∴当t>2e+1-e^2时，g(x)-f(x)=0
有两个不相同的实根