Question

问一个有关高数微分方程求解的问题，请高手解答，谢谢！！

Answer 1

举一个例子，方程dy/y=dx/x按原来的解法是：
两边积分：ln|y|=ln|x|+C1（这作为方程的通解已经是对的了，不过其形式不够漂亮）
如果我们希望得到显式解，则
|y|=e^[ln|x|+C1]=e^ln|x|*e^C1
==>
y=(±e^C1)*|x|=±(±e^C1)*x
由于C1是任意实数，所以e^C1是任意正实数，±(±e^C1)则是任意的非零实数，我们把它记作C，于是得到这个方程的显式的通解：y=Cx
怪麻烦的吧？由于这种方程经常遇到，每次这样写确实感到麻烦，因此在解微分方程时，如果积分以后得到的函数里有对数函数的项，我们就使用下面的简洁写法：
两边积分：lny=lnx+lnC=ln(Cx)（把绝对值符号省略不写了，任意常数也不是加C，而是加lnC，但这并不意味着x，y，C只能取正值，当然这个式子作为方程的通解是不行的，因为人家看到这个式子，自然会认为y只能取正值的，所以用这种简洁写法，下面的步骤是必须的，即两边同时去掉最外层的“ln”号）
所以最后的通解是：y=Cx
你看，这样写只有两步，简洁多了，并且结果是一样的。
千万记住，最后一步是不可以省略的，否则求得的解就会少了很多。

Answer 2

你想一下其实加不加绝对值，其实问题不是很大，或者说不怎么必要，只要x能取遍所有实数，y也能同样取遍所有的，主要是因为有一个任意的常数在起到调节作用！它可以起到平衡的作用！
如果就你的第一题|y|=e^C1
|x|
如果y没有绝对值的话，那最后答案肯定就不能去掉x的绝对值的！
同样第二题，其实当你写出答案，y=ln(x+C1)+C2.时候就已经默认(x+C1）>0
加不加绝对值意义不大的！
可能觉得有些模糊，没有说清楚，仅供参考吧！
实在不行，以后做题目的时候，你还是按照现在的方法做，然后写答案的时候，看一下是否能去掉绝对值
？（只用判断如果去掉绝对值，x的取值与y的取值范围是否变化了？如果没有变化，就可以去啊，，判断很简单的，只用看它们的范围）