Question

lim(sinx/x)^(1/x^2)x趋向于0

Answer 1

原极限
=lim(x趋于0)
e^[ln(sinx
/x)
*1/x^2]
显然在x趋于0的时候，sinx/x趋于1，
那么此时ln(sinx
/x)=ln(1+sinx/x
-1)就等价于sinx/x
-1
所以ln(sinx
/x)
*1/x^2就等价于(sinx/x
-1)
/x^2=(sinx
-x)
/x^3
使用洛必达法则，
lim(x趋于0)
(sinx
-x)
/x^3
=lim(x趋于0)
(sinx
-x)'
/
(x^3)'
=lim(x趋于0)
(cosx
-1)
/3x^2
再求导
=lim(x趋于0)
(
-sinx)
/
6x
=
-1/6
所以
原极限
=lim(x趋于0)
e^[ln(sinx
/x)
*1/x^2]
=e^(-1/6)

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示