Question

矩阵的秩 r(AB)与r(A+B)与r(A,B)有什么关系

Answer 1

r(A,B)>=r(A+B)
r(A,B)>=r(B)>=r(AB)
r(AB)与r(A+B)没有直接关系。
第一个不等式，将矩阵写成列向量形式[a1，a2，...，an,b1,b2...,bn]和[a1+b1，a2+b2，...，an+bn]
明显看到后面矩阵n个向量中的每个向量都是前面矩阵2n个向量的线性组合，就是后边矩阵的列向量组可以被前边矩阵的列向量组线性表出。
由线性表出关系可知，前边向量组的基大于后边向量组的基。向量组的基就是矩阵的列向量构成的基，也就是矩阵的列秩等于矩阵的秩。得证。
第二个不等式，前半部分同上。后半部分，AB写成[a1，a2，...，an]B，那么根据矩阵乘法AB的每一列都是[a1，a2，...，an]的线性组合，都能够被其表出。又同上。
证法2：前半部分同上显然。后半部分Bx=0的解x都使得ABx=0，因此根据线性方程组解的性质
n-r(B)<=n-r(AB)，整理就是r(B)>=r(AB)。
第三个没关系的反例：当A=0，B可逆时r(AB)=0，r(A+B)=n。当A=-B可逆时，r(AB)=n，r(A+B)=0。由此可见，大小不定。