Question

1.用数学归纳法证明不等式1+1/2+1/3+...1/(2^n-1)>n/2由k推导k+1

Answer 1

1、左边增加的式子是
1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+......+1/(2^k+2^k-2)+1/(2^k+2^k-1)
，
也就是
1/2^k+1/(2^k+1)+1/(2^k+2)+.......+1/[2^(k+1)-1]
。
2、因为每项均为正数，因此把待证的不等式转化为
Sn*S(n+2)<[S(n+1)]^2
，
（1）当
q=1
时，不等式化为
na1*(n+2)a1<[(n+1)a1]^2
，进而化为
n(n+2)<(n+1)^2
，
移项有
n(n+2)-(n+1)^2=(n^2+2n)-(n^2+2n+1)=
-1<0
显然成立，因此原不等式成立；
（2）当
q
≠
1
时，不等式化为
a1(1-q^n)/(1-q)*a1[1-q^(n+2)]/(1-q)<[a1(1-q^(n+1))/(1-q)]^2
，
化为
(1-q^n)[1-q^(n+2)]<[1-q^(n+1)]^2
，
移项有
(1-q^n)[1-q^(n+2)]<[1-q^(n+1)]^2=[1-q^n-q^(n+2)+q^(2n+2)]-[1-2q^(n+1)+q^(2n+2)]
=
-q^n*(1-q)^2<0
，
因此原不等式成立。

Answer 2

n=k时，左边=
1+1/2+1/3+…+1/(2^k
-1)
n=k+1时，左边=
1+1/2+1/3+…+1/[2^(k+1)
-1]
=1+1/2+1/3+…+1/(2^k
-1)
+1/2^k
+1/(2^k
+1)
+……+1/[2^(k+1)
-1]
增加的项是
1/2^k
+1/(2^k
+1)
+……+1/[2^(k+1)
-1]
从2^k到
2^(k+1)
-1
共有
[2^(k+1)
-1]
-
2^k
+1
=
2*2^k
-1
-
2^k
+1
=
2^k
项。
故选c。