Question

判断函数f(x)=x+1/x在(0,1)上的单调性,并证明我的结论

Answer 1

定义法:(若F(X)在(a,b)上是增(减)函数,则有对于任意X1,X2属于(a,b),且X1大于X2,都有F(X1)-F(X2)大于(小于)0.
任取0<x1<x2<1
则f(x1)=x1+1/x1
f(x2)=x2+1/x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+(x2-x1)/(x1x2)
=(x1-x2)[1-1/(x1x2)]
x1-x2<0
1-1/(x1x2)<0
所以f(x1)-f(x2)>0
即f(x1)>f(x2)
又x1<x2
所以是减函数
导数法:f'(x)=1-1/x平方,当x属于(0,1),显然f'(x)小于0,函数为减函数.
图象法:此函数可以称为"双勾函数",在(-1,0),(0,1)单减,在(-无穷,1),(1,+无穷)单增.在高中阶段屡屡碰到,可以记住该函数相关性质,帮助提高做题效率.
另外此函数经常与均值不等式联系.