Question

设函数f(x)=a•2x+a-22x+1为奇函数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）利用...

设函数f(x)=a•2x+a-22x+1为奇函数． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）利用函数单调性的定义判断f（x）在其定义域上的单调性．

Answer 1

解：（I）由题意可得函数的定义域为R
∵f(x)=a•2x+a-22x+1为奇函数
∴f（-x）=-f（x）对任意的x都成立
∴f（0）=-f（0）即f（0）=0
∴a•20+a-2=0
∴a=1
（II）由（I）可得f（x）=2x-12x+1=1-22x+1
设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=1-22x1+1-1+22x2+1=2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)
∵x1＜x2
∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）得f（x）=2x-12x+1在R上单调递增